Voici dix exemples de paradoxes logiques qui vont venir titiller votre sens commun (et surement vous embrouillez le cerveau).
Le mot paradoxe vient du grec «paradoxos» signifiant «ce qui est opposé au sens commun». Un paradoxe est donc une opinion, une proposition contraire à la logique. Et pourtant, il existe des paradoxes qui, à première vue, ne sont pas contraire au sens commun, que ce soit des paradoxes logiques, des paradoxes mathématiques ou philosophiques. En voici dix, qui vont venir titiller votre cerveau !
1) Le paradoxe du crocodile
Le paradoxe du crocodile est rapporté par Quintilien, rhéteur latin du Ier siècle après Jesus Christ, dans son Extrait d'Institution oratoire.
Énoncé : Un crocodile s'empare d'un bébé et dit à la mère : «Si tu devines ce que je vais faire, je te rends le bébé, sinon, je le dévore.» La mère répond : «Tu vas le dévorer !» Si le crocodile dévorait l'enfant, la mère aurait deviné juste et le crocodile devrait rendre l'enfant (qu'il a déjà mangé). Mais si le crocodile rendait l'enfant, la mère se serait trompée et le crocodile devrait le dévorer.
Explications : Il s'agit d'un paradoxe logique. Paradoxe qui peut être résolu si la mère répond au crocodile : «Tu vas dévorer mon enfant ou tu vas me le rendre.» Le crocodile ne peut pas tenir parole et dévorer l'enfant : sa seule possibilité de tenir parole est de rendre l'enfant. Dans ce cas, la mère aura prédit ce que le crocodile fera.
De toute façon, un crocodile qui parle, c'est impossible / Crédit image : Unsplash
2) Le paradoxe du menteur
Le paradoxe du menteur a été formulé par Épiménide le Crétois, poète du VIIème siècle avant Jesus-Christ, avant d'être repris et transformé.
Énoncé : Épiménide le Crétois dit : «Tous les Crétois sont des menteurs.»
Explications : C'est une contradiction performative. Si Épiménide dit vrai, alors il ment puisque c'est un Crétois. Mais si Épiménide ment, alors Crétois ne sont pas des menteurs, donc ils disent la vérité et Épiménide aussi. La paradoxe peut se résoudre en disant que la citation d'Épiménide est fausse, c'est-à-dire que tous les Crétois ne sont pas des menteurs, mais qu'Épiménide, lui qui est Crétois, ment
3) Le paradoxe du barbier
Attribué à Bertrand Russell, mathématicien britannique du XXème siècle, le paradoxe du barbier illustre le paradoxe du Russell sur la théorie des ensembles.
Énoncé : Le conseil municipal d'un village vote un arrêté municipal qui enjoint à son barbier (homme) de raser tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci. Le barbier, qui est bien un habitant du village, ne peut pas respecter cette règle.
Explications : Si le barbier se rase lui-même, il enfreint la règle, car le barbier ne peut raser que les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. Et s'il ne se rase pas lui-même - qu'il se fasse raser ou qu'il conserve la barbe - il est en tort également, car il a la charge de raser les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Le chausseur sont toujours les plus mal chaussés, et apparement, ça marche aussi pour les barbiers / Crédit image : Unsplash
4) Le paradoxe du coiffeur
Le paradoxe du coiffeur est un paralogisme (raisonnement faux qui apparait comme valide) présenté par Lewis Carroll, romancier britannique du XIXème siècle auteur notamment d'Alice aux pays des merveilles.
Énoncé : Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la boutique: Allen, Brown et Carr, mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi qu'Allen est un homme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de Brown. Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter: Carr est nécessairement présent à la boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Joe explique alors à Oncle Jim : «Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à l'intérieur de la boutique: il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte. Cependant, nous savons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est dehors, les deux phrases suivantes «si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur» et «si Allen est sorti alors Brown est sorti» seraient toutes deux vraies en même temps.» Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal: ces deux déductions semblent incompatibles : c'est donc que l'hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc logiquement être présent.
Explications : Il s'agit d'un raisonnement par l'absurde, qui, en l'occurence, est faux : il est tout à fait compatible que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti, par exemple.
5) Le paradoxe du fromage à trous
Le paradoxe du fromage à trous, aussi appelé paradoxe gruyère, est construit selon un syllogisme, raisonnement logique mettant en relation trois propositions.
Énoncé : Plus il y a de fromage, plus il y a de trous. Or, plus il y a de trous, moins il y a de fromage. Donc, plus il y a de fromage, moins il y a de fromage.
Explications : Le paradoxe du fromage à trous ne répond pas à la logique mathématique car la première proposition envisage le fromage par son aspect (trous), et la deuxième par sa matière (densité). La troisième proposition est donc fausse.
Nous, on dit que plus y a de trous, plus le fromage est bon, c'est plus simple / Crédit image : Unsplash
6) Le paradoxe de l'interrogation surprise
Le paradoxe de l'interrogation surprise a été révélé par Lennart Ekbom, professeur de mathématique du XXème siècle.
Énoncé : Un professeur annonce à ses élèves: «Il y aura une interrogation surprise la semaine prochaine.» À noter trois choses:
- Une interrogation aura lieu durant un cours soit le lundi, soit le mardi, soit le mercredi, soit le jeudi, soit le vendredi.
- Juste avant le début de l'interrogation, l'élève ne pourra avoir la certitude que l'interrogation va avoir lieu.
- Une unique interrogation aura lieu.
Un élève futé fait le raisonnement suivant: «Si jeudi soir, l'interrogation n'a pas eu lieu, alors je serai certain qu'elle est pour vendredi. Ce ne sera donc plus une surprise. L'interrogation ne peut donc avoir lieu vendredi parce c'est le dernier jour possible. Mais puisque l'interrogation ne peut avoir lieu le dernier jour, l'avant-dernier jour devient de facto, le dernier jour possible. Ainsi, par récurrence, j'en déduit que l'interrogation ne peut avoir lieu.»
Explications : Il s'agit d'un paradoxe sorite, c'est-à-dire qui s'appuie sur une terminologie vague pour arriver à une conclusion par accumulation. Car si la logique mathématique donne raison à l'élève, le sens commun se rangera du côté du professeur : peu importe le jour, il s'agira d'une surprise (dans le sens d'aléatoire).
7) Le paradoxe de la pomme de terre
Le paradoxe de la pomme de terre est un casse-tête mathématique.
Énoncé : Un agriculteur a 100kg de pomme de terre. Au début, elles se composent de 99%d'eau(représentant 99%du poids total) et donc 1%dematière (représentant donc 1%du poids total). Plus tard, en cours du stockage, elles ne se composent plus que de 98%d'eau. Quel est alors le poids total des pommes de terre?
Solution : Il faut tenir compte du fait que la matière sèche, qui représente 1kgau départ, n'est pas touchée par le processus de déshydratation, seule une partie de l'eau s'étant évaporée. Puisqu'à la fin la teneur en eau est de 98%, la matière sèche représente 2%de la masse totale. Il faut raisonner sur la matière sèche pour appliquer la règle de trois et obtenir: 50 kg.
8) Le bateau de Thésée
Le bateau de Thésée est un paradoxe philosophique.
Énoncé : Thésée a un bateau. Au cours de ses voyages, le bois se brisait ou pourrissait et devait être remplacé. Au dur à mesure, toutes les parties du bateau ont été remplacée. LorsqueThéséerentra chez lui, le navire qui accosta au port n'avait plus aucune pièce d'origine. Malgré tout, l'équipage ne doutait pas que c'était le mêmebateau.
Explications : Le bateau de Thésée est une illustration d'un problème philosophique plus général: un objet dont tous les composants sont remplacés par d'autres reste-t-il le même objet?Le problème est de savoir si le changement dematière implique un changement d'identité, ou si l'identité serait conservée par laforme ou encore d'une autre façon. Il y a une autre question, corollaire: si on avait gardé les planches du bateau et qu'avec, on en avait reconstruit un autre, lequel serait le vrai bateau ?
9) Le paradoxe des deux enveloppes
Le paradoxe des deux enveloppes joue sur la théorie de la décision et sur la probabilité.
Énoncé : Deux enveloppes contiennent chacune un chèque dont l'un est d'un montant double de l'autre. Un animateur propose à un candidat de choisir une des enveloppes, mais lui conseille de changer son choix. Le candidat doit-il suivre ce conseil?
Solution : Quand le candidat a choisi, il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important et une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit. Et s'il change, il y a toujours une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important et une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit.
Tant qu'il y a de l'argent dans l'enveloppe… on prend ! / Crédit image : Unsplash
10) Le paradoxe du doublement
Le paradoxe du doublement est une énigme posée par Jules Henri Pointcaré, mathématicien du XXème siècle.
Énoncé : Supposons que, pendant la nuit, tout ce qui existe a doublé de taille. Comment s'en apercevrait-on ?
Solution : On ne pourrait pas s'en apercevoir en mesurant, puisque les mètres aussi aurait doublé de taille. Dans l'hypothèse d'un doublement des dimensions avec maintien des masses, alors seule la gravité changerait et permettrait d'observer le phénomène.
